Calculo diferencial: 2016

lunes, 16 de mayo de 2016

Sumas De Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Definición:

Consideremos lo siguiente:

una función $f:[D]\rightarrow\mathbb{R}$

donde D es un subconjunto de los números reales

\mathbb{R}

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tales que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b

crean una partición de I

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo.

Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo.

Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

Ejemplo:

Halle la suma de Riemann para la función y trace la grafica en el intervalo dado a continuaciòn: